اختبار إلكتروني رياضياتالصف الثاني عشرالوحدة 3 [ تطبيقات على الاشتقاق ]

النقاط الحرجة للدالة المتصلة \(g(x) = x^{3} - 3x^{2} + 5\) هي:

• \((0,\ 5)\) فقط
• \((0,\ 5),\ (-2,\ -15)\)
• \((3,\ 5),\ (2,\ 1)\)
• \((0,\ 5),\ (2,\ 1)\)

النقاط الحرجة للدالة المتصلة \(f(x) = x^{4} - 4x^{3} - 8x^{2} + 10\) هي:

• \((0,\ 10),\ (-4,\ 394),\ (1,\ -1)\)
• \((0,\ 10),\ (4,\ -118),\ (-1,\ 7)\)
• \((4,\ -118),\ (-1,\ 7)\) فقط
• \((0,\ 10)\) فقط

القيمة العظمى المطلقة للدالة المتصلة \(f(x) = x^{3} - 3x + 1\) في الفترة \([0,\ 3]\) تساوي:

القيمة الصغرى المطلقة للدالة المتصلة \(f(x) = x^{3} - 3x + 1\) في الفترة \([0,\ 3]\) تساوي:

القيمة العظمى المطلقة للدالة المتصلة \(f(x) = x^{3} - 3x + 1\) في الفترة \([-2,\ 1]\) تساوي:

القيمة الصغرى المطلقة للدالة المتصلة \(f(x) = x^{3} - 3x + 1\) في الفترة \([-2,\ 1]\) تساوي:

القيمة العظمى المطلقة للدالة المتصلة \(f(x) = x^{\frac{2}{3}}\) في الفترة \([-2,\ 3]\) تساوي تقريبًا (لأقرب جزأين من مئة):

القيمة الصغرى المطلقة للدالة المتصلة \(f(x) = x^{\frac{2}{3}}\) في الفترة \([-2,\ 3]\) تساوي:

القيمة العظمى المطلقة للدالة \(f(x) = \frac{1}{x^{2}}\) في الفترة \([1,\ 3]\) تساوي:

القيمة الصغرى المطلقة للدالة \(f(x) = \frac{1}{x^{2}}\) في الفترة \([1,\ 3]\) تساوي:

إذا كانت \(f\) دالة متصلة على \((a,\ b)\) فإن \(f\) لها قيمة عظمى مطلقة وقيمة صغرى مطلقة على هذه الفترة.

• صح
• خطأ

في الشكل، للدالة \(g\) قيمة قصوى محلية عند \(x = c\)

• صح
• خطأ

الدالة \(g(x) = \sqrt{9 - x^{2}}\) لها قيمة عظمى في مجالها.

• صح
• خطأ

الدالة \(f(x) = \sqrt{x^{2} - 1}\) لها قيمة عظمى في مجالها.

• صح
• خطأ

عدد النقاط الحرجة للدالة \(y = 3x^{3} - 9x - 4\) على الفترة \((0,\ 2)\) هو:

• \(3\)
• \(2\)
• \(1\)
• \(0\)

إذا كانت \(f(x) = ax^{2} - 25x\) لها قيمة قصوى محلية عند \(x = \frac{5}{2}\) فإن \(a\) تساوي:

• \(2\)
• \(5\)
• \(3\)
• \(4\)

اختر من التمثيلات البيانية (a – e) ما يناسب كل عبارة:

• لها قيمة عظمى مطلقة = c
• لها أكثر من قيمة قصوى محلية = a
• ليس لها قيم قصوى محلية أو مطلقة = d
• = b
• = e

في الشكل خمسة تمثيلات بيانية (a – e) وأربعة جداول لقيم \(f'(x)\) مرتبة من الأعلى إلى الأسفل. اختر التمثيل البياني المناسب لكل جدول:

• الجدول الأول = c
• الجدول الثاني = b
• الجدول الثالث = d
• الجدول الرابع = a
• = e

الدالة \(f(x) = x^{2}\) تحقق شروط نظرية القيمة المتوسطة على الفترة \([0,\ 2]\). قيمة \(c\) التي تنبئ بها النظرية هي:

الدالة \(f(x) = x^{2} + 2x\) تحقق شروط نظرية القيمة المتوسطة على الفترة \([-3,\ 1]\). قيمة \(c\) التي تنبئ بها النظرية هي:

الدالة \(f(x) = x^{3} + 1\) تحقق شروط نظرية القيمة المتوسطة على الفترة \([-3,\ 3]\). قيم \(c\) التي تنبئ بها النظرية هي:

• \(c = \sqrt{3}\) فقط
• \(c = 3,\ c = -3\)
• \(c = -\sqrt{3},\ c = \sqrt{3}\)
• \(c = 0\)

الدالة \(f(x) = x^{3} - 3x + 2\) تحقق شروط نظرية القيمة المتوسطة على الفترة \([0,\ 4]\). قيمة \(c\) التي تنبئ بها النظرية هي:

• \(c = \pm\frac{4\sqrt{3}}{3}\)
• \(c = \frac{16}{3}\)
• \(c = \frac{4\sqrt{3}}{3}\)
• \(c = \sqrt{13}\)

للدالة \(f(x) = x^{2} - 5x + 6\):

• \(f\) متزايدة على \(\left(\frac{5}{2},\ \infty\right)\) ومتناقصة على \(\left(-\infty,\ \frac{5}{2}\right)\)
• \(f\) متزايدة على \(\left(-\infty,\ \frac{5}{2}\right)\) ومتناقصة على \(\left(\frac{5}{2},\ \infty\right)\)
• \(f\) متزايدة على \((5,\ \infty)\) ومتناقصة على \((-\infty,\ 5)\)
• \(f\) متزايدة على \(\mathbb{R}\)

للدالة \(f(x) = -x^{2} + 4x - 3\):

• \(f\) متزايدة على \((2,\ \infty)\) ومتناقصة على \((-\infty,\ 2)\)
• \(f\) متزايدة على \((-\infty,\ -2)\) ومتناقصة على \((-2,\ \infty)\)
• \(f\) متزايدة على \((-\infty,\ 2)\) ومتناقصة على \((2,\ \infty)\)
• \(f\) متناقصة على \(\mathbb{R}\)

للدالة \(f(x) = x^{3} - 3x^{2} - 9x + 1\):

• \(f\) متزايدة على كل من \((-\infty,\ -1),\ (3,\ \infty)\) ومتناقصة على \((-1,\ 3)\)
• \(f\) متناقصة على كل من \((-\infty,\ -1),\ (3,\ \infty)\) ومتزايدة على \((-1,\ 3)\)
• \(f\) متزايدة على كل من \((-\infty,\ -3),\ (1,\ \infty)\) ومتناقصة على \((-3,\ 1)\)
• \(f\) متزايدة على \(\mathbb{R}\)

للدالة \(f(x) = x^{3} - 6x\):

• \(f\) متناقصة على كل من \((-\infty,\ -\sqrt{2}),\ (\sqrt{2},\ \infty)\) ومتزايدة على \((-\sqrt{2},\ \sqrt{2})\)
• \(f\) متزايدة على كل من \((-\infty,\ -\sqrt{6}),\ (\sqrt{6},\ \infty)\) ومتناقصة على \((-\sqrt{6},\ \sqrt{6})\)
• \(f\) متزايدة على كل من \((-\infty,\ -\sqrt{2}),\ (\sqrt{2},\ \infty)\) ومتناقصة على \((-\sqrt{2},\ \sqrt{2})\)
• \(f\) متزايدة على كل من \((-\infty,\ -2),\ (2,\ \infty)\) ومتناقصة على \((-2,\ 2)\)

للدالة \(f(x) = \frac{x^{2}}{x - 1}\):

• \(f\) متناقصة على كل من \((-\infty,\ 0),\ (2,\ \infty)\) ومتزايدة على كل من \((0,\ 1),\ (1,\ 2)\)
• \(f\) متزايدة على كل من \((-\infty,\ 1),\ (2,\ \infty)\) ومتناقصة على \((1,\ 2)\)
• \(f\) متزايدة على كل من \((-\infty,\ 0),\ (2,\ \infty)\) ومتناقصة على كل من \((0,\ 1),\ (1,\ 2)\)
• \(f\) متزايدة على كل من \((-\infty,\ -2),\ (0,\ \infty)\) ومتناقصة على \((-2,\ 0)\)

للدالة \(f(x) = \frac{x^{2}}{2x - 1}\):

• \(f\) متزايدة على كل من \((-\infty,\ 0),\ (1,\ \infty)\) ومتناقصة على كل من \(\left(0,\ \frac{1}{2}\right),\ \left(\frac{1}{2},\ 1\right)\)
• \(f\) متناقصة على كل من \((-\infty,\ 0),\ (1,\ \infty)\) ومتزايدة على كل من \(\left(0,\ \frac{1}{2}\right),\ \left(\frac{1}{2},\ 1\right)\)
• \(f\) متزايدة على كل من \(\left(-\infty,\ \frac{1}{2}\right),\ (1,\ \infty)\) ومتناقصة على \(\left(\frac{1}{2},\ 1\right)\)
• \(f\) متزايدة على كل من \((-\infty,\ 0),\ (2,\ \infty)\) ومتناقصة على \((0,\ 2)\)

الدالة \(g(x) = x^{2} - x - 3\) متزايدة على \(\left(-\infty,\ \frac{1}{2}\right)\)

• صح
• خطأ

الدالة \(f(x) = x^{4} - 10x^{2} + 9\) متناقصة على كل من الفترة \((-\infty,\ -\sqrt{5})\) والفترة \((\sqrt{5},\ \infty)\)

• صح
• خطأ

الدالة \(f(x) = x^{\frac{2}{3}}\) تحقق شروط نظرية القيمة المتوسطة على \([0,\ 1]\)

• صح
• خطأ

تكون الدالة \(k(x) = \frac{x}{x^{2} - 4}\):

• متناقصة على كل فترة من مجال تعريفها
• متزايدة على كل فترة من مجال تعريفها
• متناقصة على كل من \((-\infty,\ -2),\ (-2,\ 2)\) ومتزايدة على \((2,\ \infty)\)
• ليس أي مما سبق

إذا كانت \(f'(x) = -x^{2}\) فإن الدالة \(f\):

• متزايدة على مجال تعريفها
• متزايدة على الفترة \((-\infty,\ 0)\) فقط
• متناقصة على الفترة \((0,\ \infty)\) فقط
• متناقصة على مجال تعريفها

إذا كانت \(f'(x) = -3x\) فإن الدالة \(f\):

• متزايدة على الفترة \((-\infty,\ 0)\) ومتناقصة على الفترة \((0,\ \infty)\)
• متزايدة على الفترة \((0,\ \infty)\)
• متناقصة على الفترة \((-\infty,\ 0]\)
• متزايدة على مجال تعريفها

النقاط الحرجة للدالة \(f(x) = x^{3} - 12x - 5\) هي:

• \((-2,\ -21),\ (2,\ 11)\)
• \((0,\ -5)\)
• \((-2,\ 11),\ (2,\ -21)\)
• \((-4,\ -21),\ (4,\ 11)\)

للدالة \(f(x) = x^{3} - 12x - 5\):

• \(f\) متناقصة على كل من \((-\infty,\ -2),\ (2,\ \infty)\) ومتزايدة على \((-2,\ 2)\)
• \(f\) متزايدة على كل من \((-\infty,\ -2),\ (2,\ \infty)\) ومتناقصة على \((-2,\ 2)\)
• \(f\) متزايدة على كل من \((-\infty,\ -4),\ (4,\ \infty)\) ومتناقصة على \((-4,\ 4)\)
• \(f\) متزايدة على \(\mathbb{R}\)

للدالة \(f(x) = x^{3} - 12x - 5\) قيمة عظمى محلية عند \(x = -2\) تساوي:

للدالة \(f(x) = x^{3} - 12x - 5\) قيمة صغرى محلية عند \(x = 2\) تساوي:

النقاط الحرجة للدالة \(f(x) = -x^{3} + 3x^{2} - 4\) هي:

• \((0,\ -4),\ (2,\ 0)\)
• \((0,\ 0),\ (2,\ -4)\)
• \((0,\ -4),\ (-2,\ 16)\)
• \((1,\ -2)\)

للدالة \(f(x) = -x^{3} + 3x^{2} - 4\):

• \(f\) متزايدة على كل من \((-\infty,\ 0),\ (2,\ \infty)\) ومتناقصة على \((0,\ 2)\)
• \(f\) متناقصة على كل من \((-\infty,\ 0),\ (2,\ \infty)\) ومتزايدة على \((0,\ 2)\)
• \(f\) متناقصة على كل من \((-\infty,\ -2),\ (0,\ \infty)\) ومتزايدة على \((-2,\ 0)\)
• \(f\) متناقصة على \(\mathbb{R}\)

للدالة \(f(x) = -x^{3} + 3x^{2} - 4\) قيمة صغرى محلية عند \(x = 0\) تساوي:

للدالة \(f(x) = -x^{3} + 3x^{2} - 4\) قيمة عظمى محلية عند \(x = 2\) تساوي:

منحنى الدالة \(f(x) = 2x^{3} + 3x^{2} - 1\):

• مقعر لأعلى في \(\left(-\infty,\ -\frac{1}{2}\right)\) ومقعر لأسفل في \(\left(-\frac{1}{2},\ \infty\right)\)
• مقعر لأسفل في \(\left(-\infty,\ -\frac{1}{2}\right)\) ومقعر لأعلى في \(\left(-\frac{1}{2},\ \infty\right)\)
• مقعر لأعلى في \(\mathbb{R}\)
• مقعر لأسفل في \(\mathbb{R}\)

نقطة الانعطاف لمنحنى الدالة \(f(x) = 2x^{3} + 3x^{2} - 1\) هي:

• \(\left(-\frac{1}{2},\ -\frac{1}{4}\right)\)
• \((0,\ -1)\)
• \(\left(- \frac{1}{2},\ - \frac{1}{2}\right)\)
• \((-1,\ 0)\)

منحنى الدالة \(f(x) = x^{3} - 2x^{2} + 1\):

• مقعر لأعلى في \(\left(-\infty,\ \frac{2}{3}\right)\) ومقعر لأسفل في \(\left(\frac{2}{3},\ \infty\right)\)
• مقعر لأعلى في \(\mathbb{R}\)
• مقعر لأسفل في \(\left(-\infty,\ \frac{2}{3}\right)\) ومقعر لأعلى في \(\left(\frac{2}{3},\ \infty\right)\)
• مقعر لأسفل في \(\mathbb{R}\)

نقطة الانعطاف لمنحنى الدالة \(f(x) = x^{3} - 2x^{2} + 1\) هي:

• \(\left(\frac{4}{3},\ -\frac{5}{27}\right)\)
• \((0,\ 1)\)
• \(\left(\frac{2}{3},\ \frac{11}{27}\right)\)
• \(\left(-\frac{2}{3},\ -\frac{5}{27}\right)\)

باستخدام اختبار المشتقة الثانية: للدالة \(f(x) = 4x^{3} - 12x^{2}\) قيمة عظمى محلية عند \(x = 0\) تساوي:

باستخدام اختبار المشتقة الثانية: للدالة \(f(x) = 4x^{3} - 12x^{2}\) قيمة صغرى محلية عند \(x = 2\) تساوي:

منحنى الدالة \(y = x^{3} - 3x^{2} + 5\) على الفترة \((0,\ 3)\) مقعر لأسفل.

• صح
• خطأ

إذا كانت \(f''(c) = 0\) فإن لمنحنى الدالة \(f\) نقطة انعطاف هي \((c,\ f(c))\)

• صح
• خطأ

إذا كان لمنحنى الدالة \(f\) نقطة انعطاف هي \((c,\ f(c))\) فإن \(f''(c) = 0\)

• صح
• خطأ

يمكن أن تكون النقطة الحرجة نقطة انعطاف.

• صح
• خطأ

منحنى الدالة \(y = -3x^{8}\) مقعر للأعلى.

• صح
• خطأ

إذا كان الشكل المقابل يمثل بيان دالة المشتقة \(f'\) فإن الدالة \(f\) تكون:

• متناقصة على كل من \((4,\ 5),\ (1,\ 3)\)
• متزايدة على كل من \((4,\ 5),\ (1,\ 3)\)
• لها قيمة صغرى محلية عند \(x = 3\) فقط
• لها نقطة انعطاف عند كل من \(x = 2,\ x = 4\)

إذا كانت \(f\) دالة كثيرة حدود من الدرجة الثالثة والشكل المقابل يوضح بيان \(f''\) فإن منحنى \(f\) مقعر للأسفل في الفترة:

• \((3,\ \infty)\)
• \((-\infty,\ 3)\)
• \((-1,\ 4]\)
• \((3,\ 5)\)

أي من منحنيات الدوال التالية يكون مقعرًا لأسفل في الفترة \((-1,\ 1)\)؟

• \(f(x) = x^{2}\)
• \(f(x) = -x^{2}\)
• \(f(x) = x|x|\)
• \(f(x) = -x^{3}\)

إذا كانت \(f\) دالة كثيرة الحدود، \((c,\ f(c))\) نقطة انعطاف لها فإن:

• \(f''(c) = 0\)
• \(f'(c) = 0\)
• \(f(c) = 0\)
• \(f''(c)\) غير موجودة

أي من الدوال التالية ليس لها نقطة انعطاف؟

• \(f(x) = x^{3} + 5x\)
• \(f(x) = (x - 2)^{4}\)
• \(f(x) = 4x^{2} - 2x^{4}\)
• \(f(x) = x^{3}\)

للدالة \(f(x) = (x^{2} - 3)^{2}\) نقاط انعطاف عددها:

• \(1\)
• \(3\)
• \(4\)
• \(2\)

في الشكل: منحنيات الدوال \(f\) (13، 14، 15) ومنحنيات دوال المشتقة \(f'\) (a – e). اختر منحنى المشتقة المناسب لكل دالة:

• منحنى الدالة 13 = c
• منحنى الدالة 14 = a
• منحنى الدالة 15 = b
• = d
• = e

النقاط الحرجة للدالة \(f(x) = x^{3} - 3x + 4\) هي:

• \((1,\ 6)\)
• \((-1,\ -6),\ (1,\ -2)\)
• \((-1,\ 6),\ (1,\ 2)\)
• \((0,\ 4)\)

الدالة \(f(x) = x^{3} - 3x + 4\) متزايدة على:

• \((-\infty,\ 0)\)
• \((-\infty,\ -1) \cup (1,\ \infty)\)
• \((0,\ \infty)\)
• \((-1,\ 1)\)

الدالة \(f(x) = x^{3} - 3x + 4\) متناقصة على:

• \((-\infty,\ 0)\)
• \((0,\ \infty)\)
• \((-\infty,\ -1) \cup (1,\ \infty)\)
• \((-1,\ 1)\)

القيمة العظمى المحلية للدالة \(f(x) = x^{3} - 3x + 4\) تساوي:

القيمة الصغرى المحلية للدالة \(f(x) = x^{3} - 3x + 4\) تساوي:

نقطة الانعطاف لمنحنى الدالة \(f(x) = x^{3} - 3x + 4\) هي:

• \((0,\ -4)\)
• \((4,\ 0)\)
• \((1,\ 2)\)
• \((0,\ 4)\)

منحنى الدالة \(f(x) = x^{3} - 3x + 4\) مقعر لأعلى في:

• \((-\infty,\ 0)\)
• \((-\infty,\ 2)\)
• \((-1,\ 1)\)
• \((0,\ \infty)\)

النقاط الحرجة للدالة \(f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x - 4\) هي:

• \((-1,\ 0)\)
• \((1,\ 0),\ (3,\ 4)\)
• \((1,\ 0),\ (3,\ -4)\)
• \((0,\ -4)\)

الدالة \(f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x - 4\) متزايدة على:

• \((-\infty,\ 1) \cup (3,\ \infty)\)
• \((0,\ \infty)\)
• \((-\infty,\ -1) \cup (1,\ \infty)\)
• \((1,\ 3)\)

الدالة \(f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x - 4\) متناقصة على:

• \((-\infty,\ 0)\)
• \((1,\ 3)\)
• \((-1,\ 1)\)
• \((-\infty,\ 1) \cup (3,\ \infty)\)

القيمة العظمى المحلية للدالة \(f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x - 4\) تساوي:

القيمة الصغرى المحلية للدالة \(f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x - 4\) تساوي:

نقطة الانعطاف لمنحنى الدالة \(f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x - 4\) هي:

• \((2,\ 2)\)
• \((2,\ -2)\)
• \((-2,\ 2)\)
• \((3,\ -4)\)

منحنى الدالة \(f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x - 4\) مقعر لأعلى في:

• \((-\infty,\ 0)\)
• \((2,\ \infty)\)
• \((-\infty,\ 2)\)
• \((-1,\ 1)\)

النقاط الحرجة للدالة \(f(x) = 1 - x^{3}\) هي:

• \((0,\ -1)\)
• \((0,\ 1)\)
• \((1,\ 0)\)
• لا توجد نقاط حرجة

الدالة \(f(x) = 1 - x^{3}\) على \(\mathbb{R}\):

• متناقصة على \(\mathbb{R}\)
• متزايدة على \(\mathbb{R}\)
• متزايدة ثم متناقصة
• متناقصة ثم متزايدة

نقطة الانعطاف لمنحنى الدالة \(f(x) = 1 - x^{3}\) هي:

• \((0,\ -1)\)
• \((0,\ 1)\)
• \((1,\ 0)\)
• \((1,\ 1)\)

منحنى الدالة \(f(x) = 1 - x^{3}\) مقعر لأعلى في:

• \((0,\ \infty)\)
• \((2,\ \infty)\)
• \((-1,\ 1)\)
• \((-\infty,\ 0)\)

النقاط الحرجة للدالة \(f(x) = x - 2x^{3}\) هي:

• \((\frac{\sqrt{6}}{6},\ - \frac{\sqrt{6}}{9})\)
• \((- \frac{\sqrt{6}}{6},\ - \frac{\sqrt{6}}{9}),\ (\frac{\sqrt{6}}{6},\ \frac{\sqrt{6}}{9})\)
• \((- \frac{\sqrt{6}}{6},\ \frac{\sqrt{6}}{9}),\ (\frac{\sqrt{6}}{6},\ - \frac{\sqrt{6}}{9})\)
• \((0,\ 0)\)

الدالة \(f(x) = x - 2x^{3}\) متزايدة على:

• \((-\infty,\ 0)\)
• \((0,\ \infty)\)
• \((- \frac{\sqrt{6}}{6},\ \frac{\sqrt{6}}{6})\)
• \((-\infty,\ -1) \cup (1,\ \infty)\)

الدالة \(f(x) = x - 2x^{3}\) متناقصة على:

• \((-\infty,\ 0)\)
• \((-\infty,\ - \frac{\sqrt{6}}{6}) \cup (\frac{\sqrt{6}}{6},\ \infty)\)
• \((0,\ \infty)\)
• \((-1,\ 1)\)

القيمة الصغرى المحلية للدالة \(f(x) = x - 2x^{3}\) تساوي:

• \(\frac{\sqrt{6}}{9}\)
• \(- \frac{\sqrt{6}}{9}\)
• \(- \frac{\sqrt{6}}{6}\)
• \(\frac{\sqrt{6}}{6}\)

القيمة العظمى المحلية للدالة \(f(x) = x - 2x^{3}\) تساوي:

• \(- \frac{\sqrt{6}}{9}\)
• \(\frac{\sqrt{6}}{6}\)
• \(\frac{\sqrt{6}}{9}\)
• \(- \frac{\sqrt{6}}{6}\)

نقطة الانعطاف لمنحنى الدالة \(f(x) = x - 2x^{3}\) هي:

• \((1,\ -1)\)
• \((0,\ 0)\)
• \((1,\ 1)\)
• \((-1,\ 2)\)

منحنى الدالة \(f(x) = x - 2x^{3}\) مقعر لأعلى في:

• \((0,\ \infty)\)
• \((2,\ \infty)\)
• \((-\infty,\ 0)\)
• \((-1,\ 1)\)

النقاط الحرجة للدالة \(f(x) = -x^{3} - 3x\) هي:

• \((0,\ 0)\)
• \((1,\ -4),\ (-1,\ 4)\)
• \((-1,\ 0),\ (1,\ 0)\)
• لا توجد نقاط حرجة

الدالة \(f(x) = -x^{3} - 3x\) على \(\mathbb{R}\):

• متزايدة على \(\mathbb{R}\)
• متزايدة ثم متناقصة
• متناقصة على \(\mathbb{R}\)
• متناقصة ثم متزايدة

نقطة الانعطاف لمنحنى الدالة \(f(x) = -x^{3} - 3x\) هي:

• \((1,\ -4)\)
• \((1,\ 1)\)
• \((-1,\ 2)\)
• \((0,\ 0)\)

منحنى الدالة \(f(x) = -x^{3} - 3x\) مقعر لأعلى في:

• \((0,\ \infty)\)
• \((2,\ \infty)\)
• \((-1,\ 1)\)
• \((-\infty,\ 0)\)

لتكن \(f:\ f(x) = -\frac{1}{2}x^{3} + \frac{3}{2}x^{2} + 2\) و \((C)\) منحناها. يمر المنحنى \((C)\) بنقطة الأصل.

• صح
• خطأ

لتكن \(f:\ f(x) = -\frac{1}{2}x^{3} + \frac{3}{2}x^{2} + 2\) و \((C)\) منحناها. الشكل المجاور يمثل منحنى الدالة \(f'\)

• صح
• خطأ

لتكن \(f:\ f(x) = -\frac{1}{2}x^{3} + \frac{3}{2}x^{2} + 2\) و \((C)\) منحناها. المماس عند النقطة التي إحداثيها السيني يساوي \(2\) موازٍ لمحور السينات.

• صح
• خطأ

لتكن \(f:\ f(x) = -\frac{1}{2}x^{3} + \frac{3}{2}x^{2} + 2\) و \((C)\) منحناها. \(4\) هي قيمة عظمى محلية.

• صح
• خطأ

لتكن \(f:\ f(x) = -\frac{1}{2}x^{3} + \frac{3}{2}x^{2} + 2\) و \((C)\) منحناها. المنحنى \((C)\) مقعر لأعلى على الفترة \((-\infty,\ 1)\).

• صح
• خطأ

الدالة \(f\) كثيرة حدود جدول تغيرها: \(x\): \(-\infty \to -1 \to 5 \to \infty\)، و \(f(x)\): تتناقص من \(\infty\) إلى \(-5\) ثم تتزايد إلى \(3\) ثم تتناقص إلى \(-\infty\). العبارة الصحيحة بالضرورة (لأي دالة لها هذا الجدول) فيما يلي هي:

• \(f(-2) > f(0)\)
• \(f(-9) > f(-2)\)
• \(f(0) < f(6)\)
• \(f(-1) > f(8)\)

الدالة \(f\) كثيرة حدود جدول تغيرها: \(x\): \(-\infty \to -1 \to 5 \to \infty\)، و \(f(x)\): تتناقص من \(\infty\) إلى \(-5\) ثم تتزايد إلى \(3\) ثم تتناقص إلى \(-\infty\). للمعادلة \(f(x) = 0\):

• لا حل لها
• حلان
• ثلاثة حلول
• حل واحد

الدالة \(f\) كثيرة حدود جدول تغيرها: \(x\): \(-\infty \to -1 \to 5 \to \infty\)، و \(f(x)\): تتناقص من \(\infty\) إلى \(-5\) ثم تتزايد إلى \(3\) ثم تتناقص إلى \(-\infty\). جدول تغير الدالة يوضح أن:

• \(-5\) قيمة صغرى مطلقة
• \(-5\) قيمة صغرى محلية، \(3\) قيمة عظمى محلية
• \(3\) قيمة عظمى مطلقة
• \(-1\) قيمة صغرى محلية، \(5\) قيمة عظمى محلية

لتكن الدالة \(f:\ f(x) = -x^{2} + 7x + 1\):

• لمنحنى \(f\) نقطة انعطاف
• منحنى \(f\) مقعر لأعلى
• لمنحنى \(f\) قيمة عظمى محلية
• لمنحنى \(f\) قيمة صغرى محلية

لتكن \(f:\ f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d,\ a \neq 0\) لمنحنى \(f\) دائمًا:

• قيمة عظمى محلية وقيمة صغرى محلية
• نقطة انعطاف
• تقعر لأسفل ثم تقعر لأعلى
• لا تمر بنقطة الأصل

الشكل يمثل بيان الدالة \(f\). صل كل عبارة بما يناسبها:

• \(f'(x) = 0\) في = \(-1,\ 1\)
• \(f'(x) > 0\) في = \((-\infty,\ -1),\ (1,\ \infty)\)
• \(f''(x) < 0\) في = \((-\infty,\ 0)\)
• = \(-2,\ 0,\ 2\)
• = \((0,\ \infty)\)

عددان موجبان مجموعهما \(100\) ومجموع مربعيهما أصغر ما يمكن، ما العددان؟

• \(1,\ 99\)
• \(25,\ 75\)
• \(40,\ 60\)
• \(50,\ 50\)

العددان اللذان مجموعهما \(14\) وناتج ضربهما أكبر ما يمكن هما:

• \(7,\ 7\)
• \(6,\ 8\)
• \(4,\ 10\)
• \(1,\ 13\)

يراد صنع صندوق بدون غطاء بقص مربعات متطابقة طول ضلع كل منها \(x\) من أركان طبقة صفيح أبعادها \(16\ cm,\ 6\ cm\) وثني جوانبها إلى أعلى. قيمة \(x\) التي تجعل حجم الصندوق أكبر ما يمكن:

يراد صنع صندوق بدون غطاء بقص مربعات متطابقة طول ضلع كل منها \(x\) من أركان طبقة صفيح أبعادها \(16\ cm,\ 6\ cm\) وثني جوانبها إلى أعلى. أكبر حجم للصندوق يمكن صنعه بهذه الطريقة:

يراد صنع صندوق بدون غطاء بقص مربعات متطابقة طول ضلع كل منها \(x\) من أركان طبقة صفيح أبعادها \(15\ cm,\ 8\ cm\) وثني جوانبها إلى أعلى. قيمة \(x\) التي تجعل حجم الصندوق أكبر ما يمكن:

يراد صنع صندوق بدون غطاء بقص مربعات متطابقة طول ضلع كل منها \(x\) من أركان طبقة صفيح أبعادها \(15\ cm,\ 8\ cm\) وثني جوانبها إلى أعلى. أكبر حجم للصندوق يمكن صنعه بهذه الطريقة:

طُلب تصميم علبة زيت تسع لترًا واحدًا \((1000\ cm^{3})\) على شكل أسطوانة دائرية قائمة لتكون كمية المعدن المستخدم لصنعها أقل ما يمكن. طول نصف قطر القاعدة \(r\) (مقربًا لأقرب جزء من مئة) يساوي:

طُلب تصميم علبة زيت تسع لترًا واحدًا \((1000\ cm^{3})\) على شكل أسطوانة دائرية قائمة لتكون كمية المعدن المستخدم لصنعها أقل ما يمكن. الارتفاع \(h\) (مقربًا لأقرب جزء من مئة) يساوي:

تعطي الدالة \(V(h) = 2\pi(-h^{3} + 36h)\) حجم أسطوانة بدلالة ارتفاعها \(h\). الارتفاع \(h\) للحصول على أكبر حجم للأسطوانة هو:

• \(2\sqrt{3}\ cm\)
• \(6\ cm\)
• \(\sqrt{3}\ cm\)
• \(12\ cm\)

تعطي الدالة \(V(h) = 2\pi(-h^{3} + 36h)\) حجم أسطوانة بدلالة ارتفاعها \(h\). أكبر حجم للأسطوانة (مقربًا لأقرب جزء من مئة) يساوي:

من بين المستطيلات التي محيطها \(8\ m\)، المستطيل الذي يعطي أكبر مساحة أبعاده:

• \(1\ m,\ 3\ m\)
• \(3\ m,\ 5\ m\)
• \(2\ m,\ 2\ m\) (مربع)
• \(4\ m,\ 4\ m\)

أصغر محيط ممكن لمستطيل مساحته \(16\ cm^{2}\) هو \(16\ cm\)

• صح
• خطأ

مستطيل مساحته \(36\ cm^{2}\) فإن أبعاده التي تعطي أصغر محيط هي:

• \(9\ cm,\ 4\ cm\)
• \(6\ cm,\ 6\ cm\)
• \(12\ cm,\ 3\ cm\)
• \(18\ cm,\ 2\ cm\)

أردت التخطيط لصنع صندوق على هيئة شبه مكعب بدون غطاء من قطعة ورق مقوى مستطيلة أبعادها \(10\ cm,\ 16\ cm\)، وذلك بقطع 4 مربعات متطابقة عند الرؤوس، ثم طي الأجزاء البارزة. أبعاد الصندوق الذي له أكبر حجم يمكن صنعه على أساسها هي:

• \(3\ cm,\ 4\ cm,\ 12\ cm\)
• \(2\ cm,\ 6\ cm,\ 12\ cm\)
• \(2\ cm,\ 8\ cm,\ 12\ cm\)
• \(3\ cm,\ 6\ cm,\ 8\ cm\)

تعطي المساحة الكلية لوعاء أسطواني الشكل بالمعادلة \(s = \pi x^{2} + \frac{2v}{x}\)، حيث \(x\) طول نصف قطر قاعدته و \(v\) حجمه (تذكر: \(v = \pi x^{2}h\)). إذا كان حجم الوعاء ثابتًا فإن القيمة الدنيا لمساحته هي عندما:

• \(x = h\)
• \(x > h\)
• \(x < h\)
• ليس أي مما سبق